Hijo de Johann Georg Conradi, probablemente estudió música con su padre. Las carreras y composiciones de los dos compositores frecuentemente han sido confundidas. Johann Melchior cantó en el coro de la capilla de la corte mientras su padre servía como Kapellmeister en Römhild en 1687.

Nada más se ha descubierto sobre su carrera, sólo que, después que su padre murió en 1699, él lo suvedió como Kapellmeister en Oettingen, permaneciendo allí hasta que la orquesta de la corte se disolvió en 1732.

La mayoría de su música fue compuesta para las interpretaciones en la corte del Príncipe Albrecht Ernst II de Oettingen-Oettingen y del Duque Ludwig Rudolf de Brunswick-Wolfenbüttel.