Esto se invalida, sin embargo, por un documento citado por Leflon, que establece que ‘Cozette' fue nombrado maestro asistente de música del coro de niños de la Catedral de Reims en 1628 con un sueldo de 60 ‘sols tournois' semanales; esto haría pensar en un nacimiento no más tarde que 1610. Pero fue ciertamente educado en la escuela de coro de Saint-Quentin y parece haber sido maestro de música auxiliar en la Catedral de Laon antes de ocupar la posición equivalente en Reims.

Edición discográfica de la "Missa Super Flumina Babylonis" de François Cosset

Según Fétis mantuvo el último puesto durante 40 años. Sin embargo, los archivos notariales de Reims lo describen en 1637 y 1650 como 'capellán de St Calixte y director de música de la catedral de Notre Dame'; en archivos de 1656 no es descrito así, y de hecho su sucesor fue designado el 4 de marzo de 1652. Aun así, siempre es llamado ‘insignis metropolitanae Ecclesiae Remensis Simphoneta simphoniarca' en las páginas de título de sus publicaciones, desde 1649 en adelante. Ni había permanecido continuamente en Reims, porque el 4 de mayo de 1643 sucedió a Jean Veillot como  maestro de música del coro de niños de Notre Dame, París. Tuvo que renunciar el 18 de julio de 1646 luego de una crítica de la reina, Ana de Austria, sobre dos presentaciones mal realizadas del Te Deum y, según los documentos de 1650 mencionados arriba, debe haber vuelto entonces a su puesto en Reims.

Aparentemente debe ser identificado con el ‘Francois Cozette, sacerdote' que el 20 de diciembre de 1658 llegó a ser director de música en la Catedral de Amiens, sucediendo a Jean Cathala; también fue puesto a cargo de la chapelle vicariale de San-Quentin, como su predecesor había sido. Renunció el 24 de noviembre de 1664.

Cosset compuso ocho misas polifónicas, cinco de las cuales sobreviven. Están al nivel de las mejores misas de ese periodo en Francia. Su estilo, mucho más severo que el de Jean de Bournonville, se parece mucho al de Henri Frémart. . Dos de las misas, "Eructavit cor meum" y "Gaudeamus", también existen en versiones manuscritas por Sébastien de Brossard, con partes agregadas para cuerdas, oboes, fagots y serpentón que proporcionan valiosa evidencia de la práctica corriente  alrededor de 1700 de convertir obras a cappella en obras concertadas.