En la página de título de su publicación de 1615 es descrito como maestro di cappella y organista de San Francesco, Génova, pero ningún cargo se menciona en la de su volumen de 1626, época en la que se puede haber retirado a un monasterio de su orden. Una colección miscelánea de música de iglesia suya, "Messa, con sei salmi et un Magnificat… motetti… libro primo" para dos a cuatro voces y continuo (Genova, 1615), comprende música para pequeños grupos en el popular estilo concertato apropiado para iglesias como aquellas en que trabajó.

Su otra publicación superviviente es "Pianto d'Arianna": madrigali, e scherzi Op 3, para voz  sola y continuo (Venecia, 1626). Su música para el lamento de Arianna de Rinuccini, que viene primero, sigue inmediatamente después de la famosa música de Monteverdi de 1608, la única versión de la cual se había publicado en 1623. Costa apeló asiduamente al influyente lamento  de Monteverdi, incluso al grado de pedir prestada su música en ocasiones; pero con su expresión generalmente bastante blanda, la versión de Costa queda muy por debajo de la obra maestra de Monteverdi.

Costa manejó recitativo y arioso más expresivamente y menos obstinadamente en algunos de los madrigales solos en su volumen. El primero de ellos, "Come fissa nel ciel lucente", está escrito en triple tiempo como si fuera un aria, y las arias (scherzi) incluyen escritura madrigalesca: esta confusión de la distinción entre las dos formas no era raro en Italia en los años 1620 y 1630, cuando el madrigal estaba en declive y el aria en ascenso. A las arias de Costa les falta el encanto melódico de muchos de sus contemporáneos.