Hijo del cantante Domenico Albrici y hermano menor del compositor Vincenzo Albrici. Aparece matriculado en enero de 1650 como soprano en la Cappella Giulia de San Pietro, Roma. La misma lista incluye a su tío Alessandro Costantini, un organista. Todavía como niño soprano Bartolomeo viajó con su padre y hermano a Lombardía, luego a Alemania, Flandes y Suecia.

Los tres fueron empleados, con otros trece músicos italianos, en la corte sueca de la Reina Christina desde el 30 de noviembre de 1652 hasta el 1 de marzo de 1653; algunos se quedaron hasta la abdicación de la reina en 1654. Desde agosto de 1655 hasta comienzos de 1656 Bartolomeo sirvió como músico en la corte de Stuttgart, y desde septiembre de 1656 aparece en los documentos de la corte de Dresde como organista en el conjunto musical del Príncipe Johann Georg II, substituyendo a Matthias Weckmann, que había salido para Hamburgo.

También estuvo activo como compositor en Dresde; diarios de la corte informan que contribuyó con misas y escenas de salmo al repertorio de la capilla de la corte. Dejó Dresde junto con su hermano Vincenzo en agosto de 1663.

Posiblemente en 1664 viajó a Inglaterra, donde desde 1665 a 1688 fue Gentleman de la Capilla Católica del Duque de York. En Londres trabajó en la corte de Charles II y posteriormente en la capilla de James II y llegó a ser bien conocido como intérprete y profesor de clavicordio. Dos de sus piezas fueron impresas en "Scelta di canzonette italiane de piu autori" (Londres, 1679).