Nació en una familia musical  originaria de Senigallia, en la provincia de Ancona. Sus tíos Fabio y Alessandro Costantini eran compositores, y su padre Domenico Albrici era un famoso cantante  que se estableció en Roma. Albrici fue educado por los sacerdotes jesuitas en el Collegio Germanico romano a comienzos de los años 1640, donde cantó como niño corista bajo el famoso maestro di cappella, Giacomo Carissimi (1605-74). Permaneció en el Collegio Germanico por cinco años, y sirvió como organista allí hasta después de 1646. Después de esto, puede haber servido brevemente como maestro di cappella u organista en la Chiesa Nuova (Santa María en Vallicella).

Albrici parece haber dejado Italia por primera vez a fines de 1652, cuando viajó con su padre y hermano Bartolomeo a Estocolmo con una compañía de músicos italianos empleados por la reina Christina; sus composiciones más tempranas que sobreviven datan de este tiempo. Después de la abdicación de Christina en junio de 1654, él y su hermano pueden haber pasado algún tiempo en la corte de Wittelsbach en Neuburg; ambos desempeñaron breves posiciones en la corte de Stuttgart a finales de 1655 y principios de 1656. Más adelante ese año, Albrici desempeñó su posición más prestigiosa hasta la fecha: co-Kapellmeister (con el castrato Giovanni Andrea Bontempi) en Dresde con el príncipe de la corona Johann Georg II (1613-80) de Sajonia. Su hermano Bartolomeo, organista y compositor, recibió un puesto también, substituyendo a Matthias Weckmann, que había salido para Hamburgo, como organista del príncipe. Aunque interrumpido varias veces, el puesto de Albrici en Dresde demuestra ser el más duradero de todos los que tuvo, y sumó cerca de quince años (1656-63, 1669-73, 1676-80).

Edición discográfica de obras de Vincenzo Albrici

Algunos años antes de contratar a Albrici, el príncipe de la corona Johann Georg había comenzado a construir una Italianate capella independiente de la de su padre, elector Johann Georg I (R. 1611-56), que permanecía bajo la dirección del famoso Heinrich Schütz. El príncipe Johann Georg tenía claramente una nueva visión para la música en la corte, y al ascender al trono en octubre de 1656, instituyó rápidos e importantes cambios en la organización del funcionamiento musical de la corte. Combinó su cappella con la de su padre, colocó un gran conjunto de cincuenta ejecutantes bajo la dirección de Albrici y de Bontempi, y esencialmente permitió a Schütz retirarse.

Los cantantes italianos, cuyas filas incluyeron castrati de soprano y de alto así como tenores y bajos, fueron los miembros privilegiados del conjunto de la corte, y se desempeñaron regularmente como solistas en las composiciones de texto latino que rápidamente llegaron a ser de rigor en la capilla de la corte. La mayor parte de los vocalistas alemanes, por otra parte, sirvieron sobre todo como coristas. Johann Georg también conservó un grupo grande de instrumentistas, la mayoría de los cuales era músicos nativos. Por lo menos se disponía de seis compositores para enseñar a este conjunto de cantantes virtuosos el nuevo repertorio: Albrici, Bontempi, Peranda, y Bartolomeo Albrici, así como los alemanes Schütz y Christoph Bernhard. Después de cuatro décadas de servicio, sin embargo, Schütz curiosamente fue ahora invitado para proporcionar las composiciones.

Al principio, Albrici compartió los deberes de Kapellmeister con Bontempi, pero los diarios de la corte demuestran que antes de 1662, él había asumido la responsabilidad única de la música sagrada durante la mañana, Hauptgottesdienst (servicio principal de la adoración) y el servicio de Vísperas de la tarde los domingo y los días de banquete. Los servicios de la adoración del día laborable, que incluía pequeña música figurativa, seguía siendo la obligación de los músicos alemanes de la corte. Los años de Dresden de Albrici fueron los más fructíferos; solo en 1662, presentó sobre cincuenta de sus propios concertos sagrados en la capilla Luterana de la corte del elector. Además de sus propias composiciones, sin embargo, Albrici también presentó trabajos de Carissimi, de Cavalli, de Peranda, de Bernhard, de Kerll, y de otros. Los diarios por los años 1660 a 1680 no dejan ninguna duda de que bajo Johann Georg II, la música en estilo italiano contemporáneo tenía la completa hegemonía en la capilla de la corte de Dresden; las ejecuciones de la música de Schütz eran extremadamente raras entonces.

En agosto de 1663, Albrici y su hermano salieron de Dresde para Londres, y entraron al servicio de rey Charles II, donde permanecerían hasta 1668. Poco se sabe de las actividades musicales de Albrici durante estos años. Aparece, sin embargo, en los crónicas del celebrado diarista inglés Samuel Pepys.

Albrici parece haber vuelto a Dresden con dos diplomados ingleses en abril de 1669, para dirigir la música en el ingreso de Johann Georg en la English Order of the Garter. Durante los cuatro años siguientes, compartió el puesto de Kapellmeister con Marco Giuseppe Peranda y el compositor de ópera veneciano Carlo Pallavicino, hasta que salió para Italia en julio de 1673. Aparece después en octubre de 1673 como maestro di cappella y organista en el Oratorio Romano dei Filippini (Chiesa Nuova), donde sirvió hasta fines de 1675. Aquí puede haber compuesto oratorios, pero ninguna evidencia de este repertorio romano sobrevive.

Después de dejar el Oratorio, Albrici pudo haber visitado Francia en 1670, pero regresó una vez más a Dresde en septiembre de 1676. Su colega Peranda en Dresde había muerto en enero de 1675, y había sido sucedido por el compositor ferrarés Sebastiano Cherici, cuya breve permanencia en Dresde duró menos de un año. La salida de Cherici probablemente obligó a Johann Georg II a llamar a Albrici de nuevo a Dresde; ahora sirvió solamente como Kapellmeister, asistido por los vice-Kapellmeisters Bernhard y Giovanni Novelli. Los diarios de la corte demuestran que Albrici estuvo de nuevo muy activo, dirigiendo música sagrada durante los servicios de la adoración y Tafelmusik durante las comidas, pero éstas últimas crónicas informan muy poco de los títulos que el compositor presentó durante estos años.

El elector Johann Georg II murió en agosto de 1680, con lo cual su hijo y sucesor, Johann Georg III, inquieto por los gastos de la corte, despidió a todos los músicos italianos. Temprano el año siguiente, Albrici tomó un puesto como organista en la Thomaskirche en Leipzig, para la cual le exigieron convertirse al Luteranismo (Johann Georg II nunca había requerido a ninguno de sus músicos italianos convertirse). El año siguiente, sin embargo, Albrici dejó Leipzig y viajó a Praga, en donde puede haber servido como organista en una iglesia Agustina, quizá St. Thomas. Su oratorio "Jephte" fue realizado en Praga en 1684 y permaneció en esta ciudad hasta su muerte. Albrici parece haber mirado sus años finales en Praga con una cierta decepción, porque en la cubierta del libreto de una cantata de Navidad, “Extraordinaria novorum paschalium relatio”, se describió como “anterior director de música de reyes, de duques, y de príncipes, director del ilustre anterior duque de Sajonia, hoy sumiso sirviente de los verdaderos amantes de la música.”