No hay información sobre sus estudios musicales. Su trabajo conocido más temprano es el oratorio "La sete di Cristo en croce", un sepolcro escrito para Innsbruck en 1691. A comienzos de 1692 puede haber vivido en Roma, donde fueron producidas sus obras dramáticas seculares más tempranas. Hacia la primavera de 1692 era compositor de la corte en Innsbruck. Ganó el entusiasta patrocinio de Eleonora María (1653–97), viuda del Rey Michael Wisniowiecki de Polonia y del Duque Charles de Lorraine, y hermanastra del Emperador Leopoldo I. Además del oratorio de 1691, Badia compuso para Innsbruck dos óperas en 1692, así como dos sepolcri durante la Semana Santa de 1693. Con el apoyo de Eleonora María, que se trasladó a Viena a fines de 1693 y con una recomendación del Rey de Polonia, fue nombrado Musik-Compositeur en la corte imperial el 1 de julio de 1694, recibiendo un sueldo mensual inicial de 60 florines retroactivo al 1 de julio de 1693. Badia se volvió así el primero en una sucesión de distinguidos compositores (incluyendo a Fux, Giovanni Bononcini, P.F. Tosi y Francesco Conti) que recibieron el título de compositor de la corte en Viena.

Después de éxitos iniciales, Badia fue enviado por el emperador a Roma, probablemente en 1695, para completar su educación musical, pero debido a falta de fondos volvió a Viena antes del fin de ese año. Hasta 1697 parece haber compuesto sólo oratorios para Viena. Su primera ópera para la corte de Habsburgo, "Bacco, vincitore dell'India", se produjo durante el Carnaval de 1697 y la dedicó a Eleonora María. Durante 18 años en las cortes de Leopoldo I (muerto en 1705) y Joseph I (muerto en 1711), Badia disfrutó un periodo de actividad creativa notable y produjo por lo menos 34 oratorios y 20 obras dramáticas seculares. También compuso más de 50 cantatas de cámara y dúos. Su sueldo fue aumentado en 30 florines en 1699 y en 30 adicionales en 1702, haciéndole uno de los músicos mejor pagados de la corte. Parece haberse vuelto un favorito de Leopold I, y fue alabado por Draghi como un ‘guter Virtuoso ' y por el sucesor de Draghi, Pancotti, como ‘gar guten Talento und ungeheimer prontezza '.

La fecha del matrimonio de Badia con la prima donna Anna María Elisabetta (Lisi) Nonetti, que llegó a Viena en 1700 se desconoce. En 1706 la acompañó probablemente a Venecia, donde ella actuó en el Teatro San Giovanni Grisostomo. Las óperas y oratorios de Badia continuaron siendo interpretados en Italia del norte, pero no hay ninguna evidencia de que tuviera intervención directa en alguna de las producciones. En 1709 fue comisionado para escribir la ópera "Gli amori di Circe con Ulisse" para Dresde; la representación tuvo lugar durante una visita del Rey de Dinamarca. Parece improbable que Badia viajara a Dresde para la función, que fue dirigida por el Barón Francesco Ballerini uno de los cantantes más famosos de la corte imperial. Badia compuso menos prolíficamente durante el reinado de Joseph I, quién favoreció a los hermanos Bononcini, Giovanni y Antonio Maria, pero el emperador frecuentemente complementaba el ingreso de Badia con sumas de dinero secretas que al parecer lo rescataban de las persistentes deudas. Después de la muerte de Joseph I, la capilla imperial fue reorganizada y muchos músicos fueron despedidos. Pero el 1 de octubre de 1711 se renovó su contrato y Carlo permaneció en el empleo de los Habsburgo hasta su muerte, sirviendo 44 años como compositor de la corte.

Bajo Charles VI (muerto en 1740), quién prefirió a los compositores más progresistas Fux y Caldara, la actividad de Badia declinó sensiblemente. Entre 1712 y 1738 se sabe que compuso sólo seis oratorios y obras dramáticas seculares. Anna María Lisi murió el 7 de enero de 1726, y hacia 1729 se había casado con Anna María Sophia Novelli, sobrina de su primera esposa; un hijo, Antonius Nicolaus, nació en 1729. En sus últimos años Badia estuvo estrechamente asociado con G.J. Dornberger, un alumno de Caldara.

Badia fue el primero de un grupo de compositores italianos (que incluye a los Bononcini, M.A. Ziani y Conti) que presentó las innovaciones estilísticas de la era Barroca tardía a la corte vienesa, largo tiempo dominada por el conservador Draghi. El estilo de Badia sufrió un proceso gradual de maduración. Las numerosas obras tempranas se caracterizan por la escritura melódica plana, gracia lírica y falta de complejidad contrapuntística. Se le puede acreditar con el aumento de la importancia de la escritura idiomático de las cuerdas en Viena. Los ritornellos y sinfonias de sus óperas y oratorios son más largos que los de sus predecesores, y él también apeló a más variadas combinaciones instrumentales así como el solo obbligato más frecuente. Puede haber sido el primer compositor en Viena en usar contrastes del concierto grosso: en el trío "Quanti e di grande" de "Le gare dei beni" (1700; también atribuido a M.A. Ziani) el compositor recurrió a dos grandes grupos contrarios (fue influenciado quizás por Torelli que visitó Viena entre 1699 y 1700). La obertura de una de las mejores obras de Badia, "Ercole, vincitore di Gerione", consta curiosamente de cuatro movimientos, el tercero un minuet. En sus oratorios y sus obras dramáticas seculares hizo extenso uso de números para conjunto vocal, especialmente tríos. "La concordia della Virtù e della Fortuna" (1702) termina con un trío, una técnica que anuncia el uso de finales de conjunto en las óperas de Fux y Caldara.

La mayoría de las cantatas de cámara de Badia son sólo para soprano o contralto con acompañamiento de continuo, pero alrededor de una docena requieren instrumentos obbligato: laúdes, violines, flautas o combinaciones mayores. Formalmente, las cantatas normalmente consisten en la alternación regular de recitativo y aria encontrada en la era Barroca tardía;  Badia usó casi exclusivamente el aria da capo.