Se conocen muy pocos detalles sobre su vida. Desde 1708 a 1714 él y su hermano Thomas (entre 1708–27), violinista y probablemente también intérprete de flauta dulce, tocaron en conciertos en Stationers' Hall y Coachmakers' Hall, Londres, y en Greenwich.

Edición discográfica con una obra de John Baston

Cuando se abrió el Lincoln's Inn Fields Theatre en 1714, ambos probablemente se hicieron miembros de su orquesta; tocaron allí regularmente en los intermedios de las funciones, a menudo los propios conciertos para flauta dulce de Baston, que tienen destacadas partes de violín.

Hacia 1722 se había cambiado al teatro rival Drury Lane, donde tocaba en la música de los intermedios (y de vez en cuando dentro de las obras) hasta 1733, siempre en un concierto o solo para la 'little flute' (flauta dulce); los conciertos son mencionados dos veces en los anuncios como obras de Dieupart y Robert Woodcock. En 1727 él (violonchelo) y su hermano (violín) estaban en la orquesta que tocó para los  Lord Mayor's Day Royal Entertainments.  Baston fue uno de los subscriptores originales de la Sociedad de Músicos en 1739.

Sus Seis Conciertos en Seis Partes para Violines y Flautas, un Quinto, Sexto y su Concierto para Flauta (Londres, 1729) son todas obras maestras para el solista, que en los Nº 1 y 3 tienen una parte para flauta dulce tiple normal, en Nº 2, 4 y 5 para sexta flauta (flauta dulce discante en Re menor), y en Nº 6 para una quinta flauta (flauta dulce discante). Sus años de experiencia teatral mostraron a Baston cómo escribir temas de apertura vivos, robustos, equilibrando las frases cortas; son, sin embargo, melódicamente mediocres.