Era hijo de un maestro de escuela latina en Füssen. Estudió primero con Johann Rudolph von Rechberg, Dean de Eichstätt y canónigo de la Catedral de Augsburgo, que a comienzos de los años 1640, promovido por clientes influyentes, lo envió a Roma, donde en 1644 entró en el Collegio Germanico. Se dedicó acuciosamente, junto a los estudios teológicos, a la educación musical y la composición bajo el maestro di cappella del colegio Giacomo Carissimi. Después de completar su doctorado, y de regreso en Alemania, entró en el sacerdocio en 1651 y ocupó inicialmente un puesto como maestro de capilla en la catedral de Augsburgo y tres años más tarde se hizo cura párroco de Kaufbeuren, Suabia. También se hizo cargo de la dirección del coro de la iglesia parroquial de San Martín, donde el creciente prestigio de la música de la iglesia de Kaufbeuren también llevó a invitaciones para interpretar música en el cercano distrito de Suabia, bajo su dirección. Su primera obra de 1664 impresa en Innsbruck por Michael Wagner, "Primitae Deo et Agno coelestis hierarchiae cantatae", son evidencia de su adaptación a la práctica del lenguaje musical local: una colección de cinco Misas de ocho partes, Te Deum y réquiems, y música de himnos motetes, con apoyo instrumental de dos violines y bajo continuo. La única impresión completa de los libros vocales se encuentra en la Biblioteca Nacional de París.

Debido a su creciente reputación pudo hacer imprimir en 1668 sus "Psalmi Vespertini"  en Kempten. Esta colección es un sistema modular de salmos poli corales a la Virgen María-, Domingos-, y Vísperas Santas, que pueden mezclarse con antífonas e himnos apropiados para la ocasión particular. Los solistas vocales son los principales portadores de la acción, coro e instrumentos, generalmente dos violines, bajo continuo y vientos como complemento del sonido, marcan las partes de la estructura, el segundo coro a menudo con música "ad libitum". Las dedicatorias de los "Psalmi" a influyentes canónigos de Passau y Salzburgo probablemente permitieron la interpretación de sus obras en los centros musicales de las iglesias del sur de Alemania.

Sin embargo, desmoralizado por los enfrentamientos con el fuerte Ayuntamiento protestante de la ciudad de Kaufbeurer, Baudrexel se cambió en 1672 al servicio del príncipe abad de Fulda y Kempten, Margrave Bernhard Gustav de Baden-Durlach. Se conserva un archivo de su trabajo en Fulda, excepto las facturas del dinero que recibió por la poca música impresa. Después de la muerte del margrave en 1678 Baudrexel fue a Maguncia como capellán de la corte del Elector Karl Heinrich von Metternich-Winneburg, donde también compuso música figurativa. En el otoño de 1679 el elector murió, pero Baudrexel se quedó en Maguncia, primero como Kapellmeister de la corte y luego desde 1684 como director de música en la catedral.

Se ha sugerido que Baudrexel pueda haber sido el traductor de la versión alemana de "Ars cantandi" de Carissimi que se publicó en Augsburgo como apéndice de un tutor musical en 1692 por J. Koppmayer; desgraciadamente ninguna copia del tutor original parece sobrevivir. Se trata de una mutación fundamental y teoría de la proporción para estudiantes de canto; de la "Guía", una escuela de órgano y bajo cifrado que apareció un año después de su muerte. La mala salud lo mantuvo inactivo los últimos dos años de su vida. Fue para el coro de la Catedral de Augsburgo que Baudrexel publicó dos colecciones de música de iglesia, las únicas publicaciones suyas sobre cuya autenticidad no puede haber ninguna duda. Ellas son "Primitiae Deo et Agno coelestis hierarchiae cantatae" (Innsbruck, 1664) y "Psalmi vespertini de Dominica… cum hymnis de communi" (Colonia, 1668). Contienen música de cánticos, antífonas y motetes para cuatro, cinco y ocho voces ("Te lucis ante terminum").