De origen galés, se desconoce el lugar de su nacimiento, pero se dice que habría sido alumno de Thomas Tallis. Fue admitido como vicario coral en la Catedral de Wells el 10 de mayo de 1579. Sin embargo, el 2 de enero de 1580, junto con otro vicario coral, fue suspendido ‘hasta que enmienden su comportamiento' por no haber comulgado durante cuatro años. Firmó una carta de privilegio en Wells en 1584. En la Sanmiguelada de 1585 el deán y capítulo de Bristol le pagó seis meses de sueldo, porque se había convertido allí en maestro de los coristas el Día de la Virgen; hacia 1589 era descrito como organista. Entre 1590 y 1603 se inscribieron los bautismos de seis de sus niños en los registros de la parroquia de St Augustine-the-Less, Bristol. La fecha y lugar de su matrimonio se desconocen pero en 1611 él y su esposa, Alice, fueron testigos del testamento de Nathaniell Pownell, archivero del Obispo de Bristol.

Edición discográfica con "Bowning a 3" de Elway Bevin

El 3 de junio de 1605 Bevin era juramentado como Gentleman Extraordinary of the Chapel Royal. Posiblemente esto ocurrió a través de la influencia de Godfrey Goodman, posteriormente Obispo de Gloucester, a quien dedicó su "Briefe and Short Instruction in the Art of Musicke" (1631).  Goodman fue el único obispo anglicano en entrar a la Iglesia de Roma. Aunque muchos años menor que él, Bevin declaraba que estaba 'obligado por muchos favores' a Goodman y parece probable que ambos fueran recusantes por toda la vida.

Se ha dicho que el alumno más notable de Bevin fue William Child. Child fue realmente, sin embargo, aprendiz de Thomas Prince, un pequeño canónigo del coro catedralicio. El 14 de febrero de 1637/8 el deán y capítulo ‘ordeó y decretó capitularmente que Elway Bevin  fuera expulsado y despedido de su oficio de organista y maestro de los coristas'. Ninguna razón se dio, pero es significativo que cuando murió 20 meses después, a los 84 años de edad, fue enterrado, no en la catedral, sino en su iglesia parroquial de St Augustine-the-Less. 

La reputación de Bevin descansa en dos logros. Su completo ‘Short’ Dorian service in four and five parts, que consta de Venite, Te Deum, Benedictus, Kyrie, Credo, Magnificat y Nunc dimitis, fue incluido en el "First Book of Selected Church Musick" de Barnard (1641) y posteriormente por Tudway y Boyce en sus colecciones.

Es un ejemplo loable del periodo. Bevin tenía una considerable reputación como compositor de cánones y su "Briefe and Short Instruction in the Art of Musicke" contiene muchos ejemplos ingeniosos. El prólogo promete instrucción para los no iniciados, pero se da poca enseñanza; el autor se contenta con explicar las dificultades. Christopher Simpson y Purcell alabaron la obra. Prometió la posibilidad de un libro más grande, pero esto no se concretó.