Se desconoce el año de su nacimiento y el lugar de su muerte. Ingresó en la Orden Franciscana de Menores Conventuales de la ciudad natal, donde también recibió su primera educación musical. Su vida artística, de la que habla en el prólogo de la obra "Ghirlanda sacra de salmi concertati … ‘libro secondo Op. 10" de 1632, se desarrolló en varios lugares, con etapas en Italia y en el extranjero.

Su presencia en Olomouc, en Moravia (en alemán Olmütz) al servicio del cardenal Franz Dietrichstein se confirma por la publicación de los "Armonici Concentus" (1 de julio de 1626). Pero esta estancia, debido a la desenfrenada guerra de treinta años, no debe haber sido muy agradable, pues el año siguiente Cocchi se refugió en Trieste (como se desprende del prefacio al libro de "Messe") como una manera de escapar de 'mil peligros y de vientos y de tormentas y de piedras'. Durante el período de Trieste, que duró desde principios desde 1627 hasta el 10 de marzo de 1630, cubrió el cargo de maestro di cappella en la catedral de San Giusto, viviendo en el convento de su Orden, anexo a la iglesia de San Francesco (ahora San Antonio Vecchio), y publicó (7 de abril de 1627) un libro de "Messe a cinque voci concertate col basso per l'organo". La dedicatoria de esta obra 'alla Gran Madre di Dio', hace pensar en el cumplimiento de algún voto por haberse salvado de los peligros. Quizás gracias a esta publicación sus superiores de la Orden de la provincia natal de Génova lo galardonaron, con carta abierta de 16 de marzo de 1628, con el título de 'magister musices'. Igual declaración le fue otorgada al final del oficio en la catedral de Trieste (5 de abril de 1630), con el derecho al libre ejercicio del magisterio donde hubiere sido requerido.

Parece que Cocchi no aprovechó esto, pues, de acuerdo con la declaración hecha en un comunicado, continuó mudándose constantemente de sede. De hecho fue a San Severino nelle Marche, a Aviñón y a Asís. Estas estadías, que no están documentadas de otra manera, fueron ciertamente cortas, porque ya en 1632, como se demuestra en la obra impresa "Ghirlanda sacra de Salmi", estaba presente, con la posición de maestro di cappella en San Francesco de Milán. Se carece totalmente de información sobre la duración de la estancia en la capital lombarda, que acababa de salir de la plaga desastrosa de 1630, así como cualquier otra de su posterior actividad o movimiento, por lo que las noticias biográfica se detienen en 1632, año en que se jactaba  del título de 'Accademico Arrischiato detto l'Allegro'.

La lista de obras, que debe ser al menos de una decena, ya que en 1632 había llegado al opus 10, incluye sólo tres publicaciones conocidas: "Armonici Concentus quinis cum organo vocibus stilo moderno exprimendi compraehendentes omnia vespertina Psalmodia, quatuorque una cum Litaniis Deiparae Virginis Mariae Antiphonas”, Venecia, 1626, dedicada al cardenal Franz Dietrichstein de Olomouc, en cuyo servicio se encontraba entonces. "Messe a cinque voci concertate col Basso per l'Organo", Venecia, 1627, cuando era maestro di cappella de la nobilísima catedral de Trieste. El índice incluye: "Missa prima sexti toni", "Missa secunda octavi toni", "Missa tertia secundi toni" y "Te Deum laudamus". Las tres misas, particularmente expresiva la tercera en el segundo tono, mientras que el Te Deum es concertato, con elegantes etapas para una sola voz. "Ghirlanda sacra de Salmi concertati a quattro con l'Ave Maris Stella con il basso per l'organo. Libro secondo. Opera decima",  Milán, 1632, siendo maestro di cappella en San Francesco de Milán, dedicado a su superior religioso Marc'Aurelio Buonamico; en este trabajo el estilo moderno, que ya se menciona en el título de los "Armonici Concentus", está aquí mayormente enfatizado por la inclusión de instrumentos: el himno mariano está escrito 'per doi canti e doi violini'. El barroquismo está presente en sus obras en el estilo concertato, en las frecuentes inserciones solistas y en un cierto efecto de eco. El bajo continuo para órgano también procede con movimientos independientes de la voz más grave, lo que deja más libertad a la entrada de las voces. Bueno numérica y por lo general es la ubicación exacta de los templos.