Fue la figura dominante en la vida musical de Génova a mediados del siglo XVII. Se describe como 'genovese' en la página de título de su "Primo libro de madrigali" para dos a cuatro voces, y su año de nacimiento es sugerido por una carta del 15 de febrero de 1653 en la que declaraba tener 54 años de edad. Su primer puesto parece haber sido en el convento de Santa Brígida, donde su hermana, Angela María, era monja. El 22 de septiembre de 1622 fue nombrado organista de la Catedral de Savona durante tres años; sus deberes incluían enseñar a dos niños a cantar y tocar el órgano y otros instrumentos. Dos años después (5 de agosto de 1624) se le prohibió tocar ese órgano excepto en oficios divinos; no obstante, su contrato se renovó durante tres más años más, después de los cuales llegó a ser maestro di cappella. 

Regresó a Génova alrededor de 1636: el 28 de junio él y Andrea Falconieri fueron denunciados por la madre superiora de Santa Brigida por distraer a las monjas con sus canciones, y el 15 de junio de 1640, según la dedicatoria de su "Primo libro", era ‘maestro' de Filippo María y Agostino Spinelli. Otra carta suya de 1653 surge de un incidente en otro convento. Habiendo reparado el órgano del convento de Santa Andrea dos veces antes de la fiesta patronal de 1652, y siendo nuevamente llamado para el mismo fin, Costa se quedó todo el día en el convento para estar disponible en caso de nuevas dificultades; pasó el tiempo tocando el laúd y acompañando, en el órgano, a una monja que cantó un motete. Su acción provocó una denuncia anónima y llevó a un juicio, como resultado del cual le prohibieron enseñar o hacer música en los monasterios de mujeres. En febrero de 1653 solicitó al vicario diocesano que alzara la prohibición que estaba teniendo un efecto serio en sus ingresos y familia; puesto que el órgano se había estropeado realmente en medio de Vísperas, el vicario concedió su demanda.

Desde por lo menos 1650 Costa fue maestro di cappella de la República de Génova en el palacio ducal. A sus cincuenta y tantos años compuso la que parece haber sido su primera ópera, "Ariodante" (libreto de Giovanni Aleandro Pisani [Giovanni Andrea Spinola], basada en la obra de Ariosto). También puede haber compuesto el intermezzo "Gli incanti d'Ismeno" (texto de Spinola) que se realizó con "Ariodante" en el Teatro del Falcone en 1655. Giazotto dice que Costa también puso música a "Aspasia" de Spinola en 1656 y/o 1660; el drama se realizó a Génova en 1695, pero la música puede haber sido de Geronimo María Costa. Un motete de Costa, "Anima Christe, sanctifica me", para tres voces (dos sopranos y bajo) y órgano, sobrevive en manuscrito. , pero no hay ningún rastro de los motetes y letanías publicados mencionados por Gerber. Costa probablemente había muerto hacia 1662, cuando Giovanni Stefano Scotto era maestro di cappella en el palacio ducal. Su hermano Giovanni Paolo Costa también fue músico.