Su padre, el Reverendo Thomas Greene, capellán de la Capilla Real y canon de Salisbury, era vicario de las parroquias  de St Olave Jewry y St Martin Pomeroy de Londres. Se dice que Maurice, a la edad de siete años ingresó en el coro de la Catedral de St Paul bajo Jeremiah Clarke y Charles King, y en 1710, cuando su voz cambió, fue contratado por Richard Brind, organista de la catedral desde la muerte de Clarke en diciembre de 1707.

En marzo de 1714 Greene asumió su primer cargo como organista de St Dunstan-in-the-West, Fleet Street, y en febrero de 1718 se hizo también organista de St Andrew's, Holborn, un puesto previamente ocupado por Daniel Purcell. Un mes después Brind murió, y Greene fue escogido inmediatamente para sucederlo en St Paul . Aunque técnicamente un vicario-coral, Greene era responsable, como organista, no sólo de la ronda diaria de servicios catedralicios sino también por la música del Festival anual de los Hijos del Clero, y en esa condición compuso muchos himnos orquestales de gran potencia y música circunstancial de Te Deum. También, por esta época Greene se había hecho amigo íntimo de Haendel que, al parecer, tenía un gusto particular por el órgano de St Paul y era un visitante frecuente de la catedral. Después se disgustaron tan violentamente que, según Burney, ‘durante muchos años de su vida, Haendel nunca habló de Greene sin algún epíteto injurioso'.

El matrimonio de Greene con Mary Dillingham, una prima de Jeremiah Clarke, debe haber tenido lugar poco después de su nombramiento en St Paul, pues el primero de sus cinco hijos nació en mayo del año siguiente. En 1722 la familia compró una casa en Beaufort Buildings off the Strand, donde Greene vivió hasta su muerte. Además de sus deberes en la catedral y su trabajo como maestro –John Travers, William Boyce y John Stanley estaban entre sus primeros alumnos– Greene también estaba involucrado en una buena cantidad de música secular, como fundador-miembro (con Talbot Young) de la Castle Society, y también de la Academia de Música Antigua, en cuyas reuniones semanales se tocaban por lo menos algunas de las obras de Greene. En 1738, junto con Festing, Greene cooperó en el estableciiento del Fondo para el Apoyo a los Músicos Arruinados y sus Familias (después la Sociedad Real de Músicos).

Aparentemente Greene sufría de una deformidad física –una forma de escoliosis– que, aunque no se muestra en ninguno de sus tres retratos supervivientes, es afirmado por Burney y otros testigos. Luego de la muerte de Croft en  agosto de 1727, Greene fue nombrado organista y compositor de la Capilla Real. Contó para ello con el apoyo del Duque de Newcastle, anteriormente Lord Chamberlain, y ahora, como Secretario de Estado, uno de los miembros más poderosos de la administración de Walpole. La familia real, sin embargo, permaneció firme en su apoyo a Haendel, y siempre que sus propios intereses estuvieran directamente involucrados, era Haendel y no Greene  el llamado a escribir un himno para el evento.

El 6 de julio de 1730 se abrió el nuevo edificio del Senado en Cambridge con una representación de la música de Greene para la "Oda del día de Santa Cecilia" de Pope, especialmente adaptado para la ocasión por el propio poeta. Al día siguiente se concedió al compositor el rango de ‘Doctor en Música' y, ‘en premio a su actuación', fue nombrado poco después profesor de música, un puesto solamente honorario que había estado vacante desde la muerte de Tudway en 1726. En enero de 1735 siguió su designación como Mastership of the King's Musick. Greene, antes de cumplir los 40 años, obtuvo el principal nombramiento musical en la tierra.

Así establecido, se embarcó en una serie de publicaciones. La primera en aparecer fue "The Chaplet", una colección de 12 canciones inglesas publicadas anónimamente en 1738. (Una anterior colección de lecciones de clavicordio había sido pirateada e impresa por Daniel Wright, y también por Walsh, pero en 1733 fue repudiada públicamente por el compositor.) De varios volúmenes de música vocal e instrumental que siguieron, el más importante es "Forty Select Anthems" publicados por suscripción en enero de 1743.

En el momento de su muerte, Greene trabajaba en la compilación "Cathedral Music", que su alumno y sucesor como Maestro de Música del Rey, Guillermo Boyce, debió completar. Muchos artículos de aquella colección todavía son usados hoy en servicios anglicanos. Greene escribió mucha música vocal, tanto sacra como secular, incluyendo el oratorio "The Song of Deborah and Barak” (1732), música de los sonetos de Edmund Spenser “Amoretti” (1739), y una colección de himnos (1743), del que el más conocido es "Lord, let me know mine end”.