Nada se sabe de sus estudios musicales. Estaba matriculado en la Universidad de Leipzig en 1672, se hizo músico de cámara del Duque-administrador de Magdeburgo en 1677, y se unió a la música real en Estocolmo el año siguiente. Cantó como contralto en la corte de Dresde entre 1682 y por lo menos 1691. Entre 1693 y 1695 dirigió la ópera de Hamburgo con Johann Sigismund Kusser; puede haber sido el autor del libreto de la ópera "Venus, oder Die siegende Liebe" de Georg Bronner (1694; perdida). Algún tiempo en los dos años siguientes estuvo en la Universidad de Leiden, donde compuso música para un poema del médico y científico Herman Boerhaave y tal vez enseñó a  John Clerk de Penicuik. 

Se oye hablar nuevamente de Kremberg por el aviso de una serie de conciertos el 24 de noviembre de 1697 en la Escuela de Danza Hickford en Londres, anunciando que venía regresando de Italia. Boerhaave relata a Clerk en una carta fechada el  9 de febrero de 1698  que Kremberg ‘tiene una banda de buenos músicos en Londres', que eran alabados por interpretar piezas celebrando la Paz de Ryswick, el cumpleaños del rey, el Nuevo Año y ‘la elevación del Conde de Albermarle'. Además, aunque ‘cantó y tocó el laúd por la noche en el dormitorio del Rey con su pequeño hijo', ‘no se le pagó un solo penique, más bien él incurrió en inmensos gastos y adquirió enormes deudas'.

Nada más se sabe de él hasta 1702, cuando se encuentra en Escocia como maestro de música de los niños de Lady Grisell Baillie de Mellerstain House, Berwickshire. Finalmente recibió un puesto en la corte inglesa en abril de 1706, y fue reemplazado por James Moore el 23 de septiembre de 1715; él es probablemente el ‘James Cranbrook' que fue enterrado tres días antes en St Anne, Soho. Fue sobrevivido por su esposa Dorothea Sophia; el James Kremberg que tuvo cuatro hijos bautizados en St Andrew, Holborn, entre 1715 y 1722 era probablemente su hijo.

Kremberg era uno de los compositores más incompetentes del periodo, aunque eso no le impidió escribir algunas piezas de gran potencia, incluyendo "A New-Framed Entertainment", una serie de escenas operísticas para una obra perdida similar a "The Rehearsal", del 2º Duque de Buckingham. Sin embargo es incluido en una lista de laudistas importantes en el manuscrito de Milleran y era un copista de música competente. Todos los manuscritos supervivientes de sus composiciones son de su mano elegante y característica. También copió una versión inglesa acortada de "Camilla" de Giovanni Bononcini, posiblemente preparada para una representación en la corte el 6 de febrero de 1707, y una partitura de suites de teatro de William Corbett, William Croft, John Eccles, James Paisible, Daniel Purcell y otros, principalmente copiadas de la serie de Walsh "Harmonia Anglicana".