Era hijo de Leonard Mell, sirviente del Conde de Pembroke. Su padre, que se unió a la banda de violines de la corte en 1620 fue indudablemente su primer maestro. Davis recibió su propio lugar en el grupo por una garantía fechada el 9 de diciembre de 1626, aunque ya estaba listado como miembro para el entierro de James I el 5 de mayo de 1625. Sirvió en la banda de violines hasta la Guerra Civil y se casó con Alice, la hija de su colega Anthony Comey, el 30 de abril de 1635. Desempeñó una parte prominente en la producción de la mascarada de James Shirley "The Triumph of Peace" (febrero de 1634), escribiendo música para las danzas de entremés y acompañando los ensayos de los máscaras.

Mell parece haber permanecido en Londres durante el interregno, y fue listado por John Playford en "A Musicall Banquet" (Londres, 1651) como uno de los ‘excelentes y capaces Maestros' disponibles para enseñar en la capital. Fue uno de los músicos en la residencia de Cromwell, probablemente desde 1656 a 1658, y estaba entre los que solicitaron al ‘Council for the Advancement of Musick’ el 19 de febrero de 1657 el establecimiento de un ‘music college’. Visitó Oxford en marzo de 1658, lo que permitió a Anthony Wood compararlo con el violinista alemán Thomas Balizar, también activo en Londres. 

Mell también fabricó relojes de pared y de bolsillo durante los años 1650, probablemente para complementar sus ingresos; se conocen tres relojes suyos. Sin embargo abandonó pronto su segunda carrera cuando reasumió su lugar en la corte luego de la Restauración. Sucedió a  John Woodington como violinista en el ‘Broken Consort’, el conjunto que tocaba música de conjunto en la Cámara Privada. Fue el miembro principal de los Veinticuatro Violines, y parece haber compartido su dirección con George Hudson por poco tiempo. 

Algunas de sus piezas solas requieren considerable virtuosismo, aunque son en su mayoría débiles como música. Una de las suites usa scordatura, y probablemente refleja su rivalidad con Thomas Baltzar, que escribió una obra similar. Así mismo, John Playford imprimió secciones sobre ‘John come kiss me now’ por ambos compositores lado a lado en The Division Violin.