John Hawkins da su primer nombre como Alexander y afirma que era 'natural de Escocia'. Por evidencia introducida en su "Recueil des meilleurs aires ecossois ... avec plusieurs divisiones et variaciones" (París, 1732), Munro nació alrededor de 1700, probablemente estudió en una universidad en el continente, era un aficionado con talento, estaba estrechamente en contacto con la moda de Edimburgo en la década de 1720, y estaba familiarizado con París, pero no existe residencia allí para comprobar sus pruebas impresas. Todas estas cosas apuntan a su identidad con Alexander Monro (1697-1767), profesor de anatomía en la Universidad de Edimburgo desde 1720, según ha especulado  David Johnson. De acuerdo a otra fuente, existió también en aquella época un Alexander Munro, maestro de la escuela de música en Tain en 1730, que hizo carrera como maestro de música en las tierras altas entre 1709 y 1736. Este Munro, que es descrito varias veces como "maestro de música" en Inverness (antes de 1709), Elgin (1709-11), Fortrose (1713 a 1716) y Tain (desde 1730 hasta 1736), bien podría también haber sido nuestro compositor.

Su "Recueil...", un conjunto de 12 piezas para flauta traversa (o violín) y bajo continuo, dio principio a un género de música de cámara que Johnson ha llamado 'variation sonata'. Aquí airs escoceses tradicionales se transforman en una sucesión de danzas italianas, mezclando variaciones de violín-escocés con las formas de las sonatas de cámara de Corelli. La obra de Munro tuvo una profunda influencia sobre sus contemporáneos escoceses McGibbon, McLean y Mackintosh y sobre Francesco Geminiani, cuyas 'Scots-tune sonatas' en "A Treatise of Good Taste" (Londres, 1749) son una continuación del género. Las sonatas de Munro circularon en Escocia hasta fines del siglo XVIII, aunque la colección nunca fue reimpresa. También escribió una serie de variaciones sobre "Widow are thou waking for violin" (1740). Su música es imaginativa y de buen gusto, pero técnicamente desigual, especialmente en el manejo de armonizaciones barrocas de los airs escoceses; varias de las sonatas, sin embargo, merecen reponerse.