Era hijo de Elena Rovetta, hermana del compositor Giovanni Rovetta y por esa razón a veces es llamado ‘Rovettino' o ‘Ruettino' y en fuentes documentales como ‘G. B. Rovetta', el apellido de su madre. No tenemos información acerca de sus estudios musicales, que posiblemente pueden haber sido de la mano de su tío. Ascendió en los rangos musicales en la basílica de San Marco, Venecia, hasta llegar a ser maestro di cappella en agosto de 1690. Fue contratado primero en 1645 para tocar uno de los dos verdaderos órganos de la basílica. Sustituyó al segundo órgano principal durante la ausencia de Cavalli, 1660-62, y sirvió como segundo organista oficial desde enero de 1665 hasta enero de 1678, cuando fue nombrado primer organista.

También era sacerdote y desempeñó varios cargos clericales en  San Marco. También estuvo relacionado con el conservatorio de huérfanos de los Mendicanti y la Sociedad de Santa Cecilia (una fraternidad de músicos). Informes de que enseñó a Benedetto Marcello son improbables. Se destacó como intérprete de clavicordio y en 1675 parece haber sido el primer músico de San Marco regularmente comprometido para tocar el instrumento, descrito como una espineta, para lecciones durante Semana Santa. Su tratado "Il prattico al cembalo", admirado por Francesco Gasparini, no ha podido ser rastreado.

Volpe compuso la música para tres óperas -"La costanza di Rosimonda" (Venecia, 1659; Milan, 1675), "Gli amori di Apolo e di Leucotoe" (Venecia, 1663) y "La Rosilena" (Venecia, 1664)- todos con libretos de Aurelio Aureli y todas presentadas originalmente en el Teatro SS Giovanni e Paolo. A veces se le ha atribuido también "Argiope" (Venecia, 1649), por otra parte atribuida a Rovetta y a Leardini, y en 1665  se le encargó dirigir ensayos del "Tito" de Antonio Cesti.

También produjo, no más allá de 1649, un volumen de "Vesperi" a ocho voces, ahora perdido. Motetes suyos aparecieron en "Sacra corona" de Bartolomeo Marcesso (1656) y en "Sacri concerti" de Marino Silvani (1668). Supervisó la publicación de madrigales (Op 9, 1646) y motetes (Op 10, 1647) de Rovetta. Volpe cooperó igualmente en el arreglo de la reimpresión por Phalèse de "Manipule e messe musicus" (Op 10) y "Bicinia sacra" (Op 3, dúos sólo)  de Rovetta en 1648 y "Gemma musicalis" (el resto de Op. 3) en 1649.