Su primer trabajo fue como organista en New College, Oxford (1694-1702). En 1700 ganó el primer premio por su obra escénica de la mascarada de Congreve "The Judgement of Paris" contra John Eccles, Gottfried Finger, y Daniel Purcell.

Se convirtió en Gentleman Extraordinary de la Capilla Real en 1701, y el año siguiente fue nombrado organista de St. Bride's, Fleet Street en Londres. Weldon después obtuvo los puestos de organista de la Capilla Real y nuevamente organista de St. Bride's Church , Fleet Street en 1708, a la muerte de John Blow; en 1714 fue nombrado organista de St. Martin-in-the-Fields, y segundo compositor de la Capilla Real en 1715.

Sus composiciones incluyen otras obras escénicas, entre ellas “The Tempest” (h. 1712), quizás la escena atribuida a Purcell, más de 30 himnos, servicios, odas, canciones y dúos, y unas pocas piezas instrumentales. Expresiones melódicas variadas e inusuales diseños formales son rasgos de su escritura.