Desde pequeño mostró notables condiciones musicales. Allinson fue primero niño corista (h. 1682-86) y luego un empleado laico (1689-93) en la Catedral de Durham, donde su habilidad musical fue fomentada y ampliada por William Greggs.

Fue admitido como organista de la catedral de Lincoln  el 5 de mayo de 1693 y ocupó este puesto hasta su muerte.

Partes de cinco himnos suyos sobreviven, estando cuatro representadas en Durham (donde uno había sido trascrito hacia 1693 y los otros cuatro hacia 1699) y en Lincoln. Sólo su full anthem "O  give thanks unto the Lord" está completo.

En sus verse anthems, en dos de los cuales falta sólo la parte de tiple, despliega habilidad tanto escribiendo un solo declamatorio como para grupos pequeños de voces.