Se ignora el lugar de su nacimiento, pero era de origen holandés. El músico holandés Bonaventura Borchgrevinck, que posiblemente era su padre, lo llevó con él como tiple cuando fue nombrado director de música en la corte dinamarquesa en Copenhague el 1 de enero de 1587. Bonaventura se retiró seis meses después pero Melchior permaneció allí como instrumentista y rápidamente se ganó el respeto y la confianza del nuevo rey, Christian IV. En 1593 su sueldo fue casi duplicado, convirtiéndolo, a pesar de su juventud, en el músico mejor pagado de la corte.

En 1596 lo enviaron a Danzig a comprar instrumentos y contratar coristas, y en la Navidad de ese año fue designado organista con un considerable aumento de sueldo. El año siguiente viajó a Inglaterra, de nuevo a comprar instrumentos, con la delegación que fue enviada para traer la reciente Orden de la Jarretera del rey Federico II. En 1599 llevó un grupo de músicos dinamarqueses, que incluía a Mogens Pedersøn  y Hans Nielsen, a Venecia para estudiar con Giovanni Gabrieli. A su regreso en 1600 fue promovido a organista de la corte y se le confió el cuidado de cuatro alumnos, entre ellos Pedersøn y Nielsen. Se le concedieron otros premios y honores, incluyendo una canonjía de la Catedral de Roskilde.

Edición discográfica con una obra de

En el invierno de 1601-02  estaba de nuevo en Venecia, donde parece haber disfrutado una alta reputación: Orazio Vecchi lo alabó en la dedicatoria (a Christian IV) de "Le veglie di Siena" (1604) y agregó la autoridad de Giovanni Gabrieli quien, decía, lo consideraba ‘uno de los músicos más excelentes de nuestro tiempo'. Borchgrevinck logró el rango de instrumentista principal en 1603. Después que Trehou fue  despedido en 1611, se convirtió en el líder virtual de la música de la corte, pero no fue sino hasta 1618 que fue confirmado en el puesto de director principal. Las circunstancias forzaron la reducción del establecimiento musical en 1627, y él parece  haberse retirado a Roskilde. En 1631 fue reintegrado en sus deberes musicales.

Borchgrevinck fue responsable de las primeras grandes publicaciones de música en Dinamarca: dos colecciones de madrigales de cinco partes, bajo el título de "Giardino novo bellissimo di varii fiori musicali scieltissimi" (Copenhague, 1605 y 1606), principalmente de algunos de los más populares compositores italianos de la época. Fue lo bastante moderno como para incluir "Cruda Amarilli" del quinto libro de Monteverdi (1605), pero extrañamente omitió a Luca Marenzio. Contribuyó con el último madrigal en cada volumen, "Amatemi, ben mio"  y "Baci amorosi  e cari" respectivamente, e incluyó en el segundo volumen otros dos madrigales de colegas dinamarqueses, uno de Hans Nielsen (Giovanni Fonteio) y uno (en dos partes) de Nicolas Gistou. Una Misa "Baci amorosi e cari" para ocho voces de Borchgrevinck que sobrevive incompleta en un manuscrito, da mayor testimonio de la influencia de sus visitas a Italia y de Gabrieli. De su otra música de iglesia, sólo se conoce una música para coro sólo en cuatro partes, adaptada para su uso con un poema de Hans Møllen Koch publicada bajo el título "En nye Viise om Guds Ord " (Copenhague, 1623), puesto que "IX Davids Psalmer, med fire stemmer rimvis udsat" (Copenhague, 1607) -rimando versiones de los salmos escritas para cuatro voces- está perdida. Cinco danzas de cinco partes suyas sobreviven.