Desde muy joven mostró aptitudes para la música. Se formó con su tío Johann Gotlob Erlmann, pastor en Knauthain cerca de Leipzig. En 1713 Falckenhagen es mencionado como "dotado en literatura y música," y en 1715 como "Músico y lacayo del joven Lord de Dieskau". Los Dieskau eran una familia para la que J.S. Bach escribió después la Bauernkantate en Merseburg. Falckenhagen se quedó en Merseburg con los Dieskau aproximadamente desde 1715. Luego perfeccionó su interpretación en laúd en Merseburg  con Johann Jacob Graf, un alumno de Sylvius Leopold Weiss, hasta que en 1719  sucedió a Johann Graf en el puesto de laudista en la corte de Sajonia.

Nelson Amos interpretando en laúd "Vivace" de la "Sonata N° 3 en Si bemol Mayor" de Adam Falckenhagen

En el invierno de 1719 ingresó a la Universidad de Leipzig y trabajó allí por un año. Entonces fue a Weissenfels, donde permaneció siete años como profesor de laúd. Durante los últimos cuatro años de ese periodo también estuvo empleado como músico de cámara y laudista en la corte del Duque Christian, donde su presencia quedó registrada en 1726 junto con su esposa, la cantante Johanna Aemilia. Durante esos años, Falckenhagen realizó varios viajes y recibió algunos meses de instrucción del famoso laudista Silvius Leopold Weiss en Dresden. Después de dos años de trabajo en Jena, estuvo al servicio del Duque Ernst August de Sachsen-Weimar desde mayo de 1729 hasta agosto de 1732.

Como muchos de sus contemporáneos, Falckenhagen viajó de corte en corte la mayor parte de su vida, estableciéndose finalmente en Bayreuth, donde ganó el favor de Guillermina de Prusia, Margravine de Bayreuth, en 1734. Guillermina era laudista y hermana de Federico el Grande; ella lo invitó a ser el laudista de la corte de Bayreuth. Falckenhagen mantuvo este cargo hasta su muerte en 1754. En 1736 el margrave Friedrich le nombró Virtuosísimo del Laúd y Músico de Cámara Asistente del Kapellmeister Johann Pfeiffer. Alrededor de 1746 se le cita como Cammer-Secretarius Registrator de Brandenburg-Culmbach.

Falckenhagen fue uno de los últimos compositores importantes de laúd. Su obra aún está ligada a la tradición barroca si bien revela una constante tendencia hacia el estilo galante. Su escritura de laúd homofónica es libremente contrapuntística y a menudo se limita a dos voces. Escribió música armoniosa que todavía se toca hoy en laúd y guitarra. Mucha de esta música sobrevive en la Biblioteca del Estado Bávaro, en Munich.

La música de Falckenhagen es representativa del florecimiento final de la música de laúd en Alemania del siglo XVIII.