Sobrino de Carlo Luigi Pietro Grua. El primer calendario impreso de la corte del establecimiento del Elector Palatino de Mannheim en 1734 lo menciona como Kapellmeister; acompañó a su padre, Vinzenz Paul, organista, desde Düsseldorf, y se hizo miembro de la orquesta entre 1723 y 1728.

Ocupó la posición de Kapellmeister desde 1734 hasta su muerte, aunque después de la llegada de Ignaz Holzbauer a Mannheim en 1753 dirigió sólo música de iglesia. Sus contribuciones más importantes a la historia de la música de Mannheim fueron la ópera festiva "Meride", producida para el matrimonio del futuro elector, Carl Theodor, y la apertura de la nueva ópera de la corte el 17 de enero de 1742, y "La clemenza di Tito", realizada en el cumpleaños de la esposa del elector el 17 de enero de 1748. Además de estas dos óperas se conocen varios oratorios de Grua que fueron presentados en Mannheim entre 1740 y 1750.

En estilo su música es típica de la primera generación de la Escuela de Mannheim.