Fue maestro di cappella en la catedral de Crema desde 1635 hasta por lo menos 1640, y allí fue ungido sacerdote en octubre de 1638. Junto con su padre y dos hermanos, recibieron pagos del Consorzio del Santísimo Sacramento, Crema. Trabajó en Piacenza desde 1644, en Novara desde 1648 hasta 1666 y luego en San Antonio, Milán. En 1650 compitió para el oficio de maestro di cappella de la catedral de Milán, pero fue desestimado en favor de M. A. Grancini. Después de la muerte de Grancini en 1669 compitió de nuevo, junto con, entre otros, Bagatti y Legrenzi. Grossi y Legrenzi fueron clasificados como los mejores; después de una nueva votación fue elegido el 28 de noviembre de 1669 con un estipendio anual de 1500 liras, que fue aumentado a 1800 el 11 de diciembre de 1670. Conservó este puesto hasta su muerte.

Por anotaciones autógrafas en algunas composiciones sabemos que su padre, Domenico, era un ‘basso ecclesiastico’ y su hermano Giovanni Battista organista en Fontanella al norte de Italia. 

Grossi fue un prolífico compositor de música sacra. Los textos poéticos  a los que puso música son principalmente en latín (sólo algunas canzoni spirituali son en italiano). Aunque tenía una maestría en la técnica polifónica (escribió a menudo para cuatro o cinco coros), prefería escribir para un pequeño número de voces, frecuentemente en la forma de diálogo sacro. Sus motetes solos, algunos ‘con eco’, son realmente cantatas espirituales. Su estilo no es original pero agradablemente melodico y a veces patético; en sus piezas monódicas tiende al arioso.