El 7 de julio de 1594 su padre Domenico firmó un contrato con el Collegio Germanico a fin de que Annibale entrara como 'soprano querubín'. No tenemos ninguna información sobre su formación musical, pero seguramente se benefició de las lecciones de Asprilio Pacelli, maestro di cappella de San Apolinar (la iglesia del Colegio Germánico) desde 1595 a 1602; el contrato preveía de hecho la obligación de enseñar canto, contrapunto y composición. Las habilidades de Orgas en materia musical debieron madurar con bastante rapidez, como muestra el relato 'Acerca de quitar o dejar la música como es ahora en el Colegio Germanico' escrito por Bernardino Castorio, rector desde 1600 hasta 1634 (con una pausa entre 1605 y 1608 ), quien, en el momento de la partida de Agostino Agazzari en 1603, quería evitar nombrar a otro maestro di cappella, contentándose con 'lo que pudiera hacer Annibale que tenía la práctica de algunos años'; a tal proposición, sin embargo, se opuso el propio padre general.

El 6 de agosto de 1606, reconocido idóneo 'praevio examen' Orgas recibió la tonsura clerical por orden del cardenal Roberto Belarmino en la capilla del Collegio Germanico; en los dos meses siguientes recibió las órdenes menores, a saber, el ostiariato (23 de septiembre), el lettorato (8 de octubre), el esorcistato (15 de octubre) y el accolitato (22 de octubre). En 1607, gracias a la intercesión de Felipe Rinaldi, Rector del Colegio Germanico, entró en el Seminario Romano. Aquí, según el testimonio de Girolamo Nappi, autor de los Anales del Seminario Romano, estudió metafísica y se convirtió en maestro di cappella, con toda seguridad luego de la partida de Antonio Cifra (junio de 1608) de la Junta del Collegio germanico. Listado entre los diáconos del Seminario en un documento fechado el 6 de marzo de 1610, pronto fue ordenado sacerdote y celebró su primera misa el Domingo de Pascua en la Iglesia de Jesús, la que solemnizada con el concurso de los primeros músicos del Papa y de toda Roma.

Edición discográfica con una obra de Annibale Orgas

En noviembre de 1611 se encontraba en Avellino, tal vez ya con el puesto de maestro di cappella que se menciona en una carta de Castorio (10 de abril de 1613) al cardenal Scipione Borghese, donde el rector se quejaba de su maestro di cappella Ottavio Catalano; este último abandonó el cargo el 29 de abril de 1613 y lo reemplazó Orgas, que permaneció allí hasta 1619. De este período de magisterio en San Apollinare existe un número relativamente pequeño de composiciones: dos motetes para ocho voces ("Angelus ad pastores" y "Hodie Christus Natus est"), manuscritos de la llamada Collectio minor de la Biblioteca Altemps (Roma, Museo Nacional Romano del Palacio Altemps), y la única antología impresa conocida, publicada en Roma en 1619, las "Sacrae cantiones da quattro a otto voci con basso continuo «et musica instrumenta»", un volumen de motetes para cuatro a ocho voces y bajo continuo que contiene toda su música conocida a partir de sus años en Italia. La definición entre comillas, que también aparece en la portada de "Sacrae laudes" de Agazzari (1603), no indica la presencia de partes instrumentales autónomas (que de hecho existen), sino probablemente alude a la utilización de instrumentos con la función de duplicar o sustituir voces, de acuerdo con la práctica del Collegio; sin embargo, no debe excluirse la posibilidad de que se añadieran secciones instrumentales escritas ex novo o incluso improvisadas. Orgas también puede haber compuesto la música para algunas de las ceremonias de graduación celebradas en el Colegio Germanico entre 1613 y 1619, con motivo de las cuales se utilizaban regularmente conciertos vocales instrumentales (práctica introducida en el Colegio a principios del siglo XVII y luego extendidas también en otras partes); pero esta música se ha perdido y las ediciones impresas de las odas no llevan casi nunca los nombres de poetas y compositores.

El último archivo conocido confirmando la presencia de Orgas en el Collegio Germanico es del 16 de mayo de 1619 (el 17 de junio fue sustituido por Lorenzo Ratti); mientras tanto, el compositor fue nombrado para dirigir la nueva capilla vocal-instrumental de la catedral de Cracovia, Polonia (institución prestigiosa y exigente que tenía más de 30 músicos), tal vez por consejo de Pacelli, entonces director de la Capilla Real de Segismundo III en Varsovia. El mandato fue renovado hasta su muerte; otro signo de la estima que disfrutó fue el nombramiento en 1628 como director de la Capilla Rorantistarum, antigua institución de la catedral de Cracovia dedicada al canto litúrgico, a pesar de que por estatuto debería estar compuesta por nueve sacerdotes polacos. También fue párroco en Raciborowice (cerca de Cracovia); al parecer, se embelleció la iglesia de la ciudad con obras de arte italianas. En la segunda mitad de 1628 visitó Italia.

Fue uno de los muchos emigrantes italianos a Polonia en la primera mitad del siglo XVII (entre ellos Giovanni Francesco Anerio, Asprilio Pacelli y Marco Scacchi) que ayudó a determinar el carácter de la cultura musical de Polonia en la época barroca. Dos motetes de cuatro partes son lo único que sobrevive de sus años en Polonia, "Vir inclite Stanislae", de 26 de septiembre de 1626, y "Deus noster, cuius gratis beatus Martinus", de 15 de junio de 1628. Son para voces iguales y fueron así claramente destinados a la Capella Rorantistarum; son obras conservadoras, imitativas en estilo y basadas en un cantus firmus en las notas iguales en el tenor; ambos manuscritos se encuentran en el Archivo capitular de la catedral de Cracovia. Perdida está la oda "Inter declamationem Epitaphium qua laudabantur ii qui cecidere in bello contra Turcam decantata", escrita para conmemorar a los caídos durante la batalla de Chocim (1621).