Aldrich puede haber recibido entrenamiento musical de Edward Lowe, aunque no hay ninguna evidencia directa de esto. En 1662 se matriculó en la Christ Church, Oxford (después de un primer estudio de matemáticas en Westminster School), recibiendo los grados BA, MA y DD en 1666, 1669 y 1682 respectivamente. Tomó las órdenes sagradas y fue asignado al rectorado de Wem, Shropshire, pero escogió permanecer en la Christ Church, llegando a ser canónigo en 1681 y deán (una posición única en Oxford como cabeza de la universidad y la catedral) en 1689, también sirviendo como vice-canciller de la Universidad de Oxford, 1692–95.

Christ Church, Oxford

Fue un líder de la resistencia de Oxford a los avances católicos de James II, y bajo William III se convirtió en uno de los defensores principales de las prácticas de la Alta Iglesia, oponiéndose públicamente al entendimiento con los no anglicanos y a las revisiones del libro de oraciones.

Estudioso trabajador y prácticamente dotado, produjo libros sobre lógica, heráldica y arquitectura, diseñando varios edificios de Oxford (incluyendo la iglesia de Todos los Santos, en el lado norte de High Street, completada en 1720), sirviendo como dibujante y grabador para el Oxford Almanacks, y produciendo una regular colección de composiciones para el servicio catedralicio inglés. Su cómputo de música griega sobrevive en manuscrito. Pidió en su testamento la destrucción de sus papeles personales luego de su muerte, pero dejó su colección de música (estimada en 8.000 composiciones) a la Christ Church. Fue enterrado allí en la catedral.

Su interés en trabajar con material prestado, sin paralelo en Inglaterra en ese momento, probablemente derivado de su educación clásica, se vinculaba con la imitación de modelos venerables. Su actividad como compositor puede haber empezado con sus odas escritas para Actos de Oxford ya en 1672; inscripciones del siglo XVIII en algunas de las fuentes sugieren que estos trabajos fueron en su mayoría tomados prestados en forma astuta de Carissimi. Sus himnos y servicios estaban circulando más allá de Oxford por lo menos a fines de los años 1670: partituras existentes en la Abadía de Westminster y la Capilla Real copiadas por William Tucker incluyen el "Servicio en Mi menor" e "If the Lord himself".

All Saints Church, Oxford, proyectada por Henry Aldrich

En los primeros años del siglo XVIII John Church, que probablemente recibió la influencia de Aldrich mientras era estudiante en Oxford, agregó muchas más de sus obras al repertorio de la Capilla Real. Alrededor de 1670 Aldrich había adquirido la base de su colección de música,  tomando la propiedad de los libros de la familia Hatton, que incluía numerosas ediciones italianas. Más tarde tuvo estos ítems encuadernados y catalogados, junto con otras impresiones que él mismo había coleccionado, incluyendo dos libros de motetes de Palestrina, música de Carissimi y otros recientes italianos, obras sacras de Byrd y madrigales ingleses.

En los años 1680 se formó un círculo de músicos de Oxford alrededor de Aldrich, y  aumentó su colección impresa con manuscritos copiados por ellos y por él mismo. Estaba interesado en el grabado y en la impresión, y de los años 1690 sobreviven dos únicos ejemplos de música impresa en partitura, ambos producidos por Aldrich: uno comprende 16 páginas de música, incluyendo "Have mercy upon me" y "Give the king thy judgments" de Aldrich y "Behold thou hast made my days" de Orlando Gibbons, usando una serie de tipos movibles creados en Oxford por Peter de Walpergen, entonces fundador de la imprenta universitaria.

Edición discográfica de "Obras sacras" de Henry Aldrich

Cantó regularmente con el coro de la Christ Church, y parece haber sido su autoridad incuestionable. Hayes, entre otros, lo acredita con el alto nivel de los estándares de interpretación de los coros catedralicios en esa época. Las reuniones de música semanales sostenidas en las habitaciones de su Christ Church combinaban ensayos serios con actuaciones informales de música variada, probablemente de su colección.

Aldrich se muestra como un compositor muy competente (y en las recomposiciones, un prestatario imaginativo), bien versado en detalles estilísticos. Sus full anthems ("Out of the deep" es un bello ejemplo) despliegan puntos de imitación bien diseñados y son típicos del periodo mezclando el estilo antico con el estilo de la época. Los verse anthems, como "Give the king thy judgments", con sus pintorescos graves solos, también son típicos, la escritura del solista a menudo guiada por la pintura de la palabra y el coro frecuentemente relegado a breves declaraciones puntuales.

Las recomposiciones a veces se han juzgado mal como una forma de plagio, pero Aldrich parece no haber pasado tales obras como composiciones originales (atribuciones en fuentes contemporáneas habitualmente nombran a Aldrich y al compositor original), y no es sorprendente que él inventara tales procedimientos compositivos derivados, dado que lentamente las prácticas educativas del día confiaron en la traducción de textos originales.