Se desconoce el año de su nacimiento, pero en su testamento declaraba que nació en Roma, y sus trabajos fechados lo ubican allí alrededor de 1724, cuando su ópera "Ginevra Principessa di Scozia" fue presentada en el Teatro della Pace. En 1721 Felipe V de España lo había nombrado maestro de capilla de La Granja de San Ildefonso, su nuevo palacio entonces en construcción cerca de Segovia.

Falconi debe haber asumido el puesto poco después del 15 de enero de 1724, cuando Felipe V abdicó en favor de su hijo Luis y se instaló en La Granja. La capilla a San Ildefonso, sin embargo, fue disuelta cuando Felipe reasumió el trono el 6 de septiembre de 1724, luego de la muerte de Luis el 31 de agosto. La "Missa defunctorum" de Falconi (1724) puede haber sido compuesta en conmemoración de la muerte de Luis. Los músicos de San Ildefonso estaban integrados en la Capilla Real en Madrid, donde Falconi llegó a ser maestro, sustituyendo durante sus 'ausencias y enfermedades' al verdadero maestro José de Torres y Martinez Bravo. El 2 de julio de 1725 fue nombrado maestro de música de la infanta María Ana Victoria, entonces de siete años. Colaboró con José de Nebra y Giacomo Facco en la ópera "Amor aumenta el valor". Fue estrenada en  enero de 1728 en la casa del embajador español en Lisboa, el Marqués del los Balbases, en celebración de la boda del  príncipe de la corona española Fernando y María Bárbara de Braganza.

Entre 1729 y 1732 Falconi viajó con la corte cuando esta residía en Badajoz, Sevilla, Granada y otros lugares, y estaba a cargo de las funciones musicales. A su regreso a Madrid continuó en sus varias ocupaciones como maestro de capilla y compuso música sacra para la capilla real. . Entre los albaceas de su testamento, hecho el 10 de febrero de 1738, estaban el Conde de Cogorani, uno de los camareros del rey, y José de Cañizares, el libretista más popular en Madrid. El compositor italiano Francesco Corselli, que el 4 de julio de 1738 sucedió a José de Torres como maestro de capilla, adquirió después las obras sacras de Falconi para el nuevo archivo musical de la capilla real. Hacia 1779 el sucesor de Corselli, Antonio Ugena, consideró que dichas obras no debían ser usadas más en la capilla.